使用 Python 进行数学艺术创作

数学可能会令人生畏。

根据老师和教学方式的不同，课程可能既难以理解又无聊，令人恼火。

但数学也有其美——数字背后蕴含的智慧与逻辑的对称性。我热爱数学，也希望其他人也能热爱它。

让数学更平易近人、并以视觉方式展现其美感的一个巧妙方法是将其与所谓的“生成艺术”相结合。生成艺术是指创建一些通常基于数学或几何的简单规则，然后让计算机处理这些规则。

由于计算机能够快速处理指令，并且处理规模比人类大得多，因此所创建的设计通常比您根据这些简单规则所预期的更复杂、更有趣。

这个例子展示了一群漂浮的粒子，它们以一种令人着迷的自然运动方式移动。它们四处漂浮，与其他粒子连接，并自行改变方向。这是“群集算法”的一种变体，令人惊奇的是，这种自然运动的大部分源于每个粒子都遵循“不撞到任何人”、“保持群集”和“与附近的粒子大致相同的方向”的规则。

Python是创建这些生成艺术项目的绝佳选择；它被数据科学家、数学家和工程师（以及许多其他人）用作处理数值计算和生成可视化的开源选项。

它也非常容易阅读和编写清晰的代码，这使其成为概述创建这种生成艺术所需的简单规则的理想语言。

使用这些规则可以创建的最简单的数学结构之一是整数序列，它是整数（整数，包括：正数、负数和零）的有序列表。通常，这些整数之间的关系会通过一组规则以某种逻辑方式阐明，以帮助人们找出模式中的下一个数字。

在本文中，我们将采用整数序列的数学原理，利用 Python 编程的强大功能对其进行增强，并使用它们来创建一些有趣且美丽的生成艺术。

这是一个有趣的练习，计算和代码示例足够简单，程序员、数学家和艺术家都应该参与其中。

不过，这篇文章并非面向 Python 初学者，因此我假设你对 Python 的语法有所了解（或者至少愿意边学边学），并且知道如何运行 Python 程序。如果你不确定如何运行 Python 程序，并且想在一个带有巨大“播放”按钮的应用程序中编写代码，那么Mu 文本编辑器非常适合初学者。

这次我想讲的序列是雷卡曼序列。它的规则看似简单，但当数字被赋予视觉或听觉形态时，结果可能会很有趣，甚至有点令人毛骨悚然。

雷卡曼序列

规则如下：

从零开始。
你迈出的每一步都会比上一步大1。
如果可以（消极地）后退，就后退。否则，就前进。
仅当结果位置为正（大于零）并且我们之前从未到过该数字时才允许向后移动。

我们以前几个为例。

我们从零开始。

下一步的大小将是 1。向后退会将我们置于 -1，这是不允许的，所以我们将向前迈进。

0 -> 1

下一步的步长是 2。后退一步会将步长设为 -1。这仍然不被允许，所以我们必须前进。

0 -> 1 -> 3

下一步的步长是 3。后退一步会回到 0。由于我们已经去过 0（我们的第一个起点），所以这不是一个有效的移动。我保证接下来的序列很快就会变得有趣，但现在我们先向前走。

0 -> 1 -> 3 -> 6

下一步的大小是 4。向后退一步，我们得到的是 2。由于 2 是正数，而且我们还没有看到它，所以我们可以迈出第一步合法的后退！

0 -> 1 -> 3 -> 6 -> 2

希望你已经开始明白这些规则是如何运作的了。想想还挺有意思的，但我不确定我会不会把五个数字组成的列表称之为“美”。到了这里，我们再稍微深入一点，谈谈艺术和代码。幸运的是，Python 的标准库中有一个有趣又可爱的模块，Turtle ，为我们提供了这两者。

介绍 Turtle Graphics

Turtle Graphics 最初是Logo 编程语言的一个关键特性。

它是一种相对简单的领域特定语言 (DSL)，屏幕上会显示一个虚拟角色——传统上形状像一只小乌龟——你可以指示它前进、后退或后退。当它移动时，它会用尾巴在所到之处画一条线，你也可以根据需要指示它抬起或放下尾巴。它甚至可以跳跃位置并改变颜色！

Python 的标准库中也包含一个“turtle”库。我们来看一个示例程序来了解它的工作原理。创建一个名为“example1.py”的文件，内容如下。

import turtle

window = turtle.Screen()
joe = turtle.Turtle()

joe.forward(50)
joe.left(90)
joe.forward(100)

turtle.done()

以下是重要内容：

在第一行，我们导入了“turtle”模块。它包含许多我们将要使用的函数，如果不先导入该模块，我们将无法使用它们。我们将通过“turtle.function_name”来使用这些函数，正如你所见。
在第 3 行，我们创建了一个窗口。运行代码时，这个窗口就会弹出。它包含了我们要绘制的所有内容。
在第 4 行，我们实际上创建了 Turtle。我们将它命名为“joe”，并将其存储在一个变量中，以便稍后向它发出命令。
第 6-8 行是我们向“joe”发出命令。你会看到“点”语法，这应该很熟悉了。
第 10 行只是在“joe”完成绘图后阻止窗口关闭。

如果您运行代码，您应该会看到类似以下内容：

附注：如果您想要真正的、老式的 Logo 体验，您可以在代码中添加“joe.shape(“turtle”)”，就在定义“joe”的那一行下面。他是不是很可爱？

好的，既然您已经了解了“乌龟”的含义，让我们回到我们正在处理的序列。

编码序列

就像任何好东西一样，我们绝对不可能一次就获得完美的结果。我们需要进行一些迭代。我会带你完成这个艺术项目的三遍，每一遍都会变得更复杂一些，视觉效果也更有趣一些。之后，我会提出一些潜在的迭代想法，如果你的创意火花燃起，可以尝试一下。开始吧！

首次尝试

我们编写的代码将与描述序列步骤的英语非常相似。记住两个规则：尽可能后退，否则前进，并且每一步后将步长增加一。

创建一个名为“recaman1.py”的新文件。我们将从这些基本规则开始，然后弄清楚如何让它真正发挥作用。我将把我们的新乌龟命名为欧拉，以某个人的名字命名。

import turtle

window = turtle.Screen()
euler = turtle.Turtle()  # A good mathy name for our turtle
euler.shape("turtle")

current = 0   # Here's how we know where we are
seen = set()  # Here's where we'll keep track of where we've been

# Step increases by 1 each time
for step_size in range(1, 100):

    backwards = current - step_size

    # Step backwards if its positive and we've never been there before
    if backwards > 0 and backwards not in seen:
        euler.backward(step_size)
        current = backwards
        seen.add(current)

    # Otherwise, go forwards
    else:
        euler.forward(step_size)
        current += step_size
        seen.add(current)

turtle.done()

然而，当我们运行它时，结果看起来不太好。事实上，看起来好像有人给欧拉喝了太多咖啡。

第二次尝试

所以，这很合理。代码读起来就像我们给别人解释一样，这很好。

不过，恐怕线性运动有点无聊。这时我们就需要戴上艺术家的帽子（艺术家戴帽子吗？），想出一个更有创意的方法，让欧拉从A点走到B点。

幸运的是，海龟不必沿直线移动！它们也可以沿圆弧和圆圈移动。让我们让它在数轴上从一个点跳到另一个点！要让海龟画一个圆或部分圆弧，我们将使用“circle”命令，该命令使海龟沿着一个圆圈移动，该圆圈的假想圆心位于海龟左侧“radius”个单位处。

这意味着我们必须在绘制之前使用“setheading”命令来确定乌龟是向前还是向后移动。

请记住，您可以在官方文档中找到所有 turtle 命令，以防您好奇。

import turtle

window = turtle.Screen()
euler = turtle.Turtle()  # A good mathy name for our turtle
euler.shape("turtle")

current = 0   # Here's how we know where we are
seen = set()  # Here's where we'll keep track of where we've been

# Step increases by 1 each time
for step_size in range(1, 100):

    backwards = current - step_size

    # Step backwards if its positive and we've never been there before
    if backwards > 0 and backwards not in seen:
        euler.setheading(90) # 90 degrees is pointing straight up
        euler.circle(step_size/2, 180)  # 180 degrees means "draw a semicircle"
        current = backwards
        seen.add(current)

    # Otherwise, go forwards
    else:
        euler.setheading(270)  # 270 degrees is straight down
        euler.circle(step_size/2, 180)
        current += step_size
        seen.add(current)

turtle.done()

这很巧妙，但刚开始的时候，他好像只是在原地晃来晃去，而且线条很近。而且，他不会用到整个屏幕的左半部分！

让我们再一起进行一次迭代，让它看起来更加美观。

第三次尝试

这次迭代的目标是让画面变得更大，并给他更多的工作空间。

import turtle

window = turtle.Screen()
window.setup(width=800, height=600, startx=10, starty=0.5)
euler = turtle.Turtle()  # A good mathy name for our turtle
euler.shape("turtle")
scale = 5  # This isn't a turtle module setting.  This is just for us.

# Move the little buddy over to the left side to give him more room to work
euler.penup()
euler.setpos(-390, 0)
euler.pendown()

current = 0   # Here's how we know where we are
seen = set()  # Here's where we'll keep track of where we've been

# Step increases by 1 each time
for step_size in range(1, 100):

    backwards = current - step_size

    # Step backwards if its positive and we've never been there before
    if backwards > 0 and backwards not in seen:
        euler.setheading(90)  # 90 degrees is pointing straight up
        # 180 degrees means "draw a semicircle"
        euler.circle(scale * step_size/2, 180)
        current = backwards
        seen.add(current)

    # Otherwise, go forwards
    else:
        euler.setheading(270)  # 270 degrees is straight down
        euler.circle(scale * step_size/2, 180)
        current += step_size
        seen.add(current)

turtle.done()